Black-Scholes Modeli: Nedir, Nasıl Çalışır, Seçenekler Formülü

Black-Scholes Modeli Nedir?

Black-Scholes-Merton (BSM) modeli olarak da bilinen Black-Scholes modeli, modern finans teorisindeki en önemli kavramlardan biridir. Bu matematiksel denklem, zamanın ve diğer risk faktörlerinin etkisini dikkate alarak, diğer yatırım araçlarına dayalı türevlerin teorik değerini tahmin eder. 1973 yılında geliştirilmiş olup, halen bir opsiyon sözleşmesini fiyatlandırmanın en iyi yollarından biri olarak kabul edilmektedir.

Temel Çıkarımlar

  • Black-Scholes modeli, diğer adıyla Black-Scholes-Merton (BSM) modeli, opsiyon sözleşmelerini fiyatlandırmak için yaygın olarak kullanılan bir diferansiyel denklemdir.
  • Black-Scholes modeli, beş girdi değişkeni gerektirir: bir opsiyonun kullanım fiyatı, cari hisse senedi fiyatı, sona erme süresi, risksiz oran ve oynaklık.
  • Genellikle doğru olmasına rağmen, Black-Scholes modeli, gerçek dünyadaki sonuçlardan sapan tahminlere yol açabilecek belirli varsayımlarda bulunur.
  • Standart BSM modeli, Amerikan opsiyonlarının son kullanma tarihinden önce uygulanabileceğini dikkate almadığından, yalnızca Avrupa opsiyonlarını fiyatlandırmak için kullanılır.
1:33

Black-Scholes Modeli

Black-Scholes Modelinin Tarihi

1973 yılında Fischer Black, Robert Merton ve Myron Scholes tarafından geliştirilen Black-Scholes modeli, cari hisse senedi fiyatlarını, beklenen temettüleri, opsiyonun kullanım fiyatını, beklenen kullanım fiyatını kullanarak bir opsiyon sözleşmesinin teorik değerini hesaplamak için yaygın olarak kullanılan ilk matematiksel yöntemdi. faiz oranları, sona erme süresi ve beklenen oynaklık.

İlk denklem, Black ve Scholes’un Journal of Political Economy’de yayınlanan 1973 tarihli “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” adlı makalesinde tanıtıldı. Robert C. Merton bu makalenin düzenlenmesine yardım etti. O yılın ilerleyen saatlerinde The Bell Journal of Economics and Management Science’da “Theory of Rational Option Pricing” adlı kendi makalesini yayınladı, modelin matematiksel anlayışını ve uygulamalarını genişletti ve “Black-Scholes teorisi opsiyon fiyatlandırması” terimini icat etti. .”

1997’de Scholes ve Merton, “türevlerin değerini belirlemek için yeni bir yöntem” bulma çalışmalarından dolayı Ekonomi Bilimlerinde Nobel Anma Ödülü’ne layık görüldü. Black iki yıl önce vefat etmişti ve bu nedenle Nobel Ödülleri ölümünden sonra verilmediği için alıcı olamazdı; ancak Nobel komitesi, Black-Scholes modelindeki rolünü kabul etti.

Black-Scholes Modeli Nasıl Çalışır?

Black-Scholes, hisse senetleri veya vadeli işlem sözleşmeleri gibi enstrümanların, sürekli kayma ve oynaklıkla rastgele bir yürüyüşün ardından lognormal bir fiyat dağılımına sahip olacağını varsayar. Bu varsayımı kullanarak ve diğer önemli değişkenleri hesaba katarak, denklem Avrupa tarzı bir alım opsiyonunun fiyatını türetmektedir.

Black-Scholes denklemi beş değişken gerektirir. Bu girdiler oynaklık, dayanak varlığın fiyatı, opsiyonun kullanım fiyatı, opsiyonun sona ermesine kadar geçen süre ve risksiz faiz oranıdır. Bu değişkenler ile opsiyon satıcılarının sattıkları opsiyonlar için rasyonel fiyatlar belirlemeleri teorik olarak mümkündür.

Ayrıca, model, yoğun şekilde işlem gören varlıkların fiyatının, sürekli kayma ve oynaklıkla geometrik bir Brownian hareketini takip ettiğini tahmin ediyor. Bir hisse senedi opsiyonuna uygulandığında model, hisse senedinin sabit fiyat değişimini, paranın zaman değerini, opsiyonun kullanım fiyatını ve opsiyonun sona erme süresini içerir.

Black-Scholes Varsayımları

Black-Scholes modeli bazı varsayımlarda bulunur:

  • Opsiyonun ömrü boyunca hiçbir temettü ödenmez.
  • Piyasalar rastgeledir (yani piyasa hareketleri tahmin edilemez).
  • Opsiyonu satın alırken herhangi bir işlem maliyeti yoktur.
  • Dayanak varlığın risksiz oranı ve oynaklığı bilinir ve sabittir.
  • Dayanak varlığın getirileri normal dağılır.
  • Seçenek Avrupa’ya aittir ve yalnızca vade sonunda kullanılabilir.

Orijinal Black-Scholes modeli, opsiyonun ömrü boyunca ödenen temettülerin etkilerini dikkate almazken, model sıklıkla temettüleri hesaba katmak için, dayanak hisse senedinin eski temettü tarihi değerini belirleyerek uyarlanır. Model aynı zamanda birçok opsiyon satan piyasa yapıcı tarafından vade bitiminden önce uygulanabilen opsiyonların etkisini hesaba katmak için değiştirilir.

Alternatif olarak, daha yaygın olarak alınıp satılan Amerikan tarzı seçeneklerin fiyatlandırılması için firmalar, iki terimli veya üç terimli bir model veya Bjerksund-Stensland modelini kullanacaklardır.

Black-Scholes Modeli Formülü

Formülde yer alan matematik karmaşıktır ve göz korkutucu olabilir. Neyse ki Black-Scholes modellemesini kendi stratejilerinizde kullanmak için matematik bilmenize ve hatta anlamanıza gerek yok. Opsiyon tüccarları, çeşitli çevrimiçi opsiyon hesaplayıcılarına erişebilir ve günümüzün ticaret platformlarının çoğu, hesaplamaları gerçekleştiren ve opsiyon fiyatlama değerlerini çıkaran göstergeler ve elektronik tablolar dahil olmak üzere güçlü opsiyon analiz araçlarına sahiptir.

Black-Scholes alım opsiyonu formülü, hisse senedi fiyatının kümülatif standart normal olasılık dağılım fonksiyonu ile çarpılmasıyla hesaplanır. Daha sonra, kullanım fiyatının kümülatif standart normal dağılımla çarpılan net bugünkü değeri (NPV), önceki hesaplamanın sonuç değerinden çıkarılır.

Matematiksel gösterimde:

C = S N ( d 1 ) – K e – r t N ( d 2 )nerede:d 1 = ben n K S + ( r + p v 2 2 ) t p s tved 2 = d 1 – s s tve nerede:C = Çağrı seçeneği fiyatıS = Geçerli hisse senedi (veya diğer temel) fiyatıK = kullanım fiyatır = Risksiz faiz oranıt = olgunluk zamanıN = normal dağılımbegin{aligned}&C = SN (d_1) – Ke ^{-rt} N (d_2) &textbf{burada:} &d_1 = frac { ln ^ S_K + (r + frac { sigma) ^2_v }{ 2 } ) t }{ sigma_s sqrt { t } } &text{ve} &d_2 = d_1 – sigma_s sqrt { t } &textbf{ve nerede:} &C = text{Alım opsiyonu fiyatı} &S = text{Mevcut hisse senedi (veya diğer temel) fiyatı} &K = text{Kullanım fiyatı} &r = text{Risksiz faiz oranı} &t = text{Olgunluğa kalan süre} &N = text{Normal bir dağılım} \end{hizalı}C = SN ( d 1 ​) K e r t N ( d 2 ​)nerede:d 1=σ s ​tl n K S ​+ ( r + 2 σ v 2 ​) tved 2 ​= d 1 ​− σ s ​tve nerede:C = Alım opsiyonu fiyatıS = Geçerli hisse senedi (veya diğer temel) fiyatıK = Kullanım fiyatır = Risksiz faiz oranıt = Vadeye kalan süreN = Normal dağılım

BlackScholesMerton.pngBlackScholesMerton.png
Siyah, Scholes, Merton. © KhanAcademy

Volatilite Çarpıklığı

Black-Scholes, hisse senedi fiyatlarının lognormal bir dağılım izlediğini varsayar çünkü varlık fiyatları negatif olamaz (sıfırla sınırlıdır).

Çoğu zaman, varlık fiyatlarının önemli ölçüde sağ çarpıklığa ve bir dereceye kadar basıklığa (yoğun kuyruklar) sahip olduğu gözlemlenir. Bu, yüksek riskli aşağı yönlü hareketlerin genellikle piyasada normal bir dağılımın öngördüğünden daha sık meydana geldiği anlamına gelir.

Lognormal dayanak varlık fiyatları varsayımı, Black-Scholes modeline göre her kullanım fiyatı için zımni oynaklıkların benzer olduğunu göstermelidir. Bununla birlikte, 1987’deki piyasa çöküşünden bu yana, başabaş opsiyonlar için zımni oynaklıklar, paranın çok dışında veya kârda olanlardan daha düşük olmuştur. Bu olgunun nedeni, piyasanın, piyasalarda yüksek volatilitenin aşağı yönlü hareket etme olasılığının daha yüksek olduğunu fiyatlamasıdır.

Bu, volatilite çarpıklığının varlığına yol açmıştır. Aynı vade tarihine sahip opsiyonlar için ima edilen oynaklıklar bir grafik üzerinde gösterildiğinde, bir gülümseme veya çarpık bir şekil görülebilir. Bu nedenle, Black-Scholes modeli, ima edilen oynaklığı hesaplamak için verimli değildir.

Black-Scholes Modelinin Dezavantajları

Daha önce de belirtildiği gibi, Black-Scholes modeli yalnızca Avrupa opsiyonlarını fiyatlandırmak için kullanılır ve ABD opsiyonlarının vade tarihinden önce kullanılabileceğini dikkate almaz. Ayrıca, model temettülerin ve risksiz oranların sabit olduğunu varsayar, ancak gerçekte bu doğru olmayabilir.

Model ayrıca volatilitenin opsiyonun ömrü boyunca sabit kaldığını varsayar, bu durum böyle değildir çünkü volatilite arz ve talep düzeyiyle dalgalanır.

Ek olarak, diğer varsayımlar—işlem maliyetlerinin veya vergilerin olmadığı; risksiz faiz oranının tüm vadeler için sabit olması; gelirlerin kullanılmasıyla menkul kıymetlerin açığa satışına izin verildiğini; ve risksiz arbitraj fırsatlarının olmaması, gerçek dünyanınkinden farklı fiyatlara yol açabilir.

Black-Scholes Modeli Ne Yapar?

Black-Scholes-Merton (BSM) olarak da bilinen Black-Scholes modeli, opsiyon fiyatlaması için yaygın olarak kullanılan ilk modeldi. Varlık fiyatlarının davranışıyla ilgili belirli varsayımlara dayanan denklem, cari fiyat, vade tarihi ve kullanım fiyatı gibi bilinen değişkenlere dayalı olarak Avrupa tipi bir alım opsiyonunun fiyatını hesaplar. Bunu, hisse senedi fiyatının ve kümülatif standart normal olasılık dağılım fonksiyonunun çarpımından kümülatif standart normal dağılımla çarpılan kullanım fiyatının net bugünkü değerini (NPV) çıkararak yapar.

Black-Scholes Modelinin Girdileri Nelerdir?

Black-Scholes denkleminin girdileri volatilite, dayanak varlığın fiyatı, opsiyonun kullanım fiyatı, opsiyonun sona ermesine kadar geçen süre ve risksiz faiz oranıdır. Bu değişkenler ile opsiyon satıcılarının sattıkları opsiyonlar için rasyonel fiyatlar belirlemeleri teorik olarak mümkündür.

Black-Scholes Modeli Hangi Varsayımlarda Bulunur?

Orijinal Black-Scholes modeli, opsiyonun Avrupa tipi bir opsiyon olduğunu ve sadece vade bitiminde kullanılabileceğini varsayar. Ayrıca, opsiyonun ömrü boyunca hiçbir temettü ödenmediğini varsayar; piyasa hareketlerinin tahmin edilemeyeceğini; seçeneğin satın alınmasında herhangi bir işlem maliyetinin olmaması; Dayanak varlığın risksiz oranı ve volatilitesinin bilindiği ve sabit olduğu; ve dayanak varlığın fiyatlarının bir log-normal dağılım izlediğini.

Black-Scholes Modelinin Sınırlamaları Nelerdir?

Black-Scholes modeli yalnızca Avrupa opsiyonlarını fiyatlandırmak için kullanılır ve Amerikan opsiyonlarının vade tarihinden önce kullanılabileceğini dikkate almaz. Ayrıca model, temettülerin, volatilitenin ve risksiz oranların opsiyonun ömrü boyunca sabit kaldığını varsayar.

Vergilerin, komisyonların veya işlem maliyetlerinin veya vergilerin dikkate alınmaması da gerçek dünyadaki sonuçlardan sapan değerlemelere yol açabilir.

Düzeltme10 Temmuz 2022: Bu makale, getirilerin normal dağıldığı halde varlık fiyatlarının log-normal dağılım izlediği varsayımlarına açıklık getirmek için düzenlendi.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Back to top button