Binom Dağılımı: Tanım, Formül, Analiz ve Örnek

Binom Dağılımı Nedir?

Binom dağılımı, bir değerin belirli bir parametre veya varsayımlar kümesi altında iki bağımsız değerden birini alma olasılığını özetleyen, istatistiklerde kullanılan bir olasılık dağılımıdır.

Binom dağılımının altında yatan varsayımlar, her deneme için yalnızca bir sonucun olduğu, her denemenin aynı başarı olasılığına sahip olduğu ve her denemenin birbirini dışladığı veya birbirinden bağımsız olduğudur.

Binom Dağılımını Anlamak

Başlamak için, binom dağılımındaki “binom” iki terim anlamına gelir. Sadece başarı sayısıyla veya sadece deneme sayısıyla değil, her ikisiyle de ilgileniyoruz. Biri olmadan diğeri bizim için işe yaramaz.

Binom dağılımı, normal dağılım gibi sürekli bir dağılımın aksine, istatistiklerde kullanılan yaygın bir ayrık dağılımdır. Bunun nedeni, binom dağılımının, verilerde bir dizi deneme verildiğinde tipik olarak 1 (başarı için) veya 0 (başarısızlık için) olarak temsil edilen yalnızca iki durumu saymasıdır. Binom dağılımı bu nedenle, her deneme için bir başarı olasılığı p verildiğinde, n denemede x başarı olasılığını temsil eder.

Binom dağılımı, deneme sayısını veya her denemenin belirli bir değere ulaşmak için aynı olasılığa sahip olduğu gözlemleri özetler. Binom dağılımı, belirli sayıda denemede belirli sayıda başarılı sonucun gözlemlenme olasılığını belirler.

Binom Dağılımı Analizi

Binom dağılımının beklenen değeri veya ortalaması, deneme sayısı (n) ile başarı olasılığı (p) veya n × p çarpılarak hesaplanır.

Örneğin, 100 tura veya masal denemesindeki tura sayısının beklenen değeri 50 veya (100 × 0.5)’dir. Binom dağılımının başka bir yaygın örneği, basketbolda bir serbest atış atıcısının başarı şansını tahmin etmektir; burada 1 = bir basket atıldı ve 0 = bir ıska.

Binom dağılım formülü şu şekilde hesaplanır:

P _(x:n,p) = _n C _x xp ^x (1-p) ^nx

nerede:

• n, deneme sayısıdır (oluşma)
• x, başarılı denemelerin sayısıdır
• p, tek bir denemede başarı olasılığıdır
• nCx, n ve x’in birleşimidir. Kombinasyon, sıranın önemli olmadığı ve yer değiştirmelere izin verilmeyen n farklı nesne kümesinden x öğe örneğini seçmenin yollarının sayısıdır. nCx=n!/(r!(n−r)!) olduğuna dikkat edin, burada ! faktöriyeldir (yani, 4! = 4 × 3 × 2 × 1).

Binom dağılımının ortalaması np’dir ve binom dağılımının varyansı np’dir (1 – p). p = 0.5 olduğunda, dağılım ortalama etrafında simetriktir. p > 0.5 olduğunda, dağılım sola çarpıktır. p < 0.5 olduğunda, dağılım sağa çarpıktır.

Binom dağılımı, bir dizi çoklu bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış Bernoulli denemelerinin toplamıdır. Bir Bernoulli denemesinde, deneyin rastgele olduğu ve yalnızca iki olası sonucu olabileceği söylenir: başarı veya başarısızlık.

Örneğin, yazı tura atmak bir Bernoulli davası olarak kabul edilir; her deneme yalnızca iki değerden (tura veya yazı) birini alabilir, her başarı aynı olasılığa sahiptir (tura gelme olasılığı 0,5’tir) ve bir denemenin sonuçları diğerinin sonuçlarını etkilemez. Bernoulli dağılımı, deneme sayısının n = 1 olduğu özel bir binom dağılımı durumudur.

Binom Dağılımı Örneği

Binom dağılımı, başarı olasılığının başarı sayısının kuvveti ile başarısızlık olasılığının başarı sayısı ile deneme sayısı arasındaki farkın kuvvetiyle çarpılmasıyla hesaplanır. Ardından, ürünü deneme sayısı ile başarı sayısı arasındaki kombinasyonla çarpın.

Örneğin, bir kumarhanenin, katılımcıların belirli sayıda madeni para atışında tura veya yazı sayısına bahis oynayabilecekleri yeni bir oyun yarattığını varsayalım. Bir katılımcının 20 yazı tura attığında tam olarak altı tura geleceğine dair 10$’lık bir bahis oynamak istediğini varsayalım. Katılımcı bunun olma olasılığını hesaplamak istiyor ve bu nedenle hesaplamayı binom dağılımı için kullanıyor.

Olasılık (20! / (6! × (20 – 6)!)) × (0.50)^(6) × (1 – 0.50) ^ (20 – 6) olarak hesaplanmıştır. Sonuç olarak, 20 madeni para atışında tam olarak altı tura gelme olasılığı 0,037 veya %3,7’dir. Bu durumda beklenen değer 10 turaydı, dolayısıyla katılımcı kötü bir bahis yaptı.

Peki bu finansta nasıl kullanılabilir? Bir örnek: Diyelim ki, belirli bir borçlunun temerrüde düşme olasılığını üç ondalık basamak içinde bilmek isteyen bir banka, bir borç verensiniz. Bu kadar çok borçlunun temerrüde düşerek bankayı iflas etmesi ihtimali nedir? Bu sayıyı hesaplamak için iki terimli dağılım işlevini kullandığınızda, sigortanın nasıl fiyatlandırılacağı ve nihayetinde ne kadar parayı ödünç vereceğiniz ve ne kadarını yedekte tutacağınız konusunda daha iyi bir fikriniz olur.

Alt çizgi

Binom dağılımı, ikili sonuçları (yazı tura atma, evet/hayır yanıtı veya açık/kapalı durumu gibi) tanımlayan önemli bir istatistiksel dağılımdır. Özelliklerini ve işlevlerini anlamak, iki bağımsız değerden birini alan bir sonucu içeren çeşitli bağlamlarda veri analizi için önemlidir. Sosyal bilimler, finans, bankacılık, sigortacılık ve diğer alanlarda uygulamaları vardır. Örneğin, bir borçlunun bir kredide temerrüde düşüp düşmeyeceği, bir opsiyon sözleşmesinin kârlı mı yoksa zararsız mı olacağı veya bir şirketin kazanç tahminlerini kaçırıp kaçırmadığı.