Bayes Teoremi: Nedir, Formül ve Örnekler

Bayes Teoremi Nedir?

Adını 18. yüzyıl İngiliz matematikçisi Thomas Bayes’ten alan Bayes Teoremi, koşullu olasılığı belirlemek için kullanılan matematiksel bir formüldür. Koşullu olasılık, benzer koşullarda meydana gelen önceki bir sonuca bağlı olarak bir sonucun olma olasılığıdır. Bayes teoremi, yeni veya ek kanıtlar verildiğinde mevcut tahminleri veya teorileri gözden geçirmek (olasılıkları güncellemek) için bir yol sağlar.

Finansta, Bayes Teoremi, potansiyel borçlulara borç verme riskini derecelendirmek için kullanılabilir. Teorem ayrıca Bayes Kuralı veya Bayes Yasası olarak da adlandırılır ve Bayes istatistikleri alanının temelidir.

Bayes Teoremini Anlamak

Bayes Teoreminin uygulamaları yaygındır ve finansal alanla sınırlı değildir. Örneğin Bayes teoremi, herhangi bir kişinin bir hastalığa sahip olma olasılığını ve testin genel doğruluğunu dikkate alarak tıbbi test sonuçlarının doğruluğunu belirlemek için kullanılabilir. Bayes teoremi, sonsal olasılıklar oluşturmak için önceki olasılık dağılımlarını birleştirmeye dayanır.

Bayes istatistiksel çıkarımında önceki olasılık, yeni veriler toplanmadan önce meydana gelen bir olayın olasılığıdır. Başka bir deyişle, bir deney yapılmadan önce mevcut bilgilere dayalı olarak belirli bir sonucun olasılığının en iyi rasyonel değerlendirmesini temsil eder.

Arka olasılık, yeni bilgiler dikkate alındıktan sonra meydana gelen bir olayın revize edilmiş olasılığıdır. Son olasılık, Bayes teoremi kullanılarak önceki olasılığın güncellenmesiyle hesaplanır. İstatistiksel terimlerle, arka olasılık, B olayının meydana gelmesi durumunda A olayının olma olasılığıdır.

Özel Hususlar

Bayes Teoremi bu nedenle, o olayla ilgili olan veya olabilecek yeni bilgilere dayalı olarak bir olayın olasılığını verir. Formül ayrıca, yeni bilginin doğru olduğu varsayılarak, bir olayın meydana gelme olasılığının varsayımsal yeni bilgilerden nasıl etkilenebileceğini belirlemek için de kullanılabilir.

Örneğin, 52 kartlık tam bir desteden tek bir kart çekmeyi düşünün.

Kartın papaz olma olasılığı dörde bölü 52’dir, bu da 1/13’e veya yaklaşık %7,69’a eşittir. Destede dört papaz olduğunu unutmayın. Şimdi, seçilen kartın bir yüz kartı olduğunun ortaya çıktığını varsayalım. Bir destede 12 resimli kart olduğundan, seçilen kartın bir resimli kart olduğu düşünülürse, papaz olma olasılığı dörde bölü 12 veya yaklaşık %33,3’tür.

Bayes Teoremi için Formül

P ( A ∣ B ) = P ( A ⋂ B ) P ( B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) P ( B ) nerede: P ( A ) = A’nın oluşma olasılığı P ( B ) = B’nin olma olasılığı P ( A ∣ B ) = Belirli bir B’nin olasılığı P ( B ∣ A ) = Verilen A’nın olasılığı P ( A ⋂ B ) ) = Hem A hem de B’nin olma olasılığıbegin{aligned} &Pleft(A|Bright)=frac{Pleft(Abigcap{B}right)}{Pleft(Bright)}=frac{Pleft (Asağ)cdot{Pleft(B|Asağ)}}{Pleft(Bsağ)} &textbf{burada:} &Pleft(Asağ)= text{ A’nın olma olasılığı} &Pleft(Bright)=text{ B’nin olma olasılığı} &Pleft(A|Bright)=text{Verilen A’nın olasılığı B} &Pleft(B|Aright)=text{ Verilen A’nın olasılığı} &Pleft(Abigcap{B}right))=text{ Her iki A’nın olasılığı ve B oluşuyor} end{hizalanmış}​P( bir ∣ B )=P ( B ) P ( A ⋂ B )=P ( B ) P ( Bir ) ⋅ P ( B ∣ Bir )nerede:P ( A ) = A’nın oluşma olasılığıP ( B ) = B’nin oluşma olasılığıP ( A ∣ B ) = Belirli bir B’nin olasılığıP ( B ∣ A ) = A verilen B’nin olasılığıP ( A ⋂ B ) ) = Hem A hem de B’nin olma olasılığı​

Bayes Teoremine Örnekler

Aşağıda, ilk örneğin Amazon.com Inc. (AMZN) kullanılarak bir hisse senedi yatırım örneğinde formülün nasıl türetilebileceğini gösteren iki Bayes Teoremi örneği bulunmaktadır. İkinci örnek, Bayes teoremini farmasötik ilaç testine uygular.

Bayes Teoremi Formülünün Türetilmesi

Bayes Teoremi, basitçe koşullu olasılık aksiyomlarını takip eder. Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olayın olması koşuluyla olasılığıdır. Örneğin, basit bir olasılık sorusu şu soruyu sorabilir: “Amazon.com’un hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?” Koşullu olasılık, şu soruyu sorarak bu soruyu bir adım daha ileri götürür: “Dow Jones Endüstriyel Ortalama (DJIA) endeksinin daha önce düştüğü göz önüne alındığında , AMZN hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?”

B’nin gerçekleşmiş olması koşuluyla A’nın koşullu olasılığı şu şekilde ifade edilebilir:

A, “AMZN fiyatı düşer” ise, P(AMZN), AMZN’nin düşme olasılığıdır; ve B: “DJIA zaten devre dışı” ve P(DJIA), DJIA’nın düşme olasılığıdır; o zaman koşullu olasılık ifadesi “bir DJIA düşüşü verildiğinde AMZN’nin düşme olasılığı, AMZN fiyatının düşme ve DJIA’nın düşme olasılığına, DJIA endeksinde bir azalma olasılığına eşittir” şeklinde okur.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN ve DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN ve DJIA), hem A hem de B’nin meydana gelme olasılığıdır. Bu aynı zamanda, A’nın meydana gelme olasılığı ile A’nın meydana gelmesi durumunda B’nin olma ihtimalinin çarpımı ile aynıdır ve P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) olarak ifade edilir. Bu iki ifadenin eşit olması, şu şekilde yazılan Bayes teoremine götürür:

eğer, P(AMZN ve DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

sonra, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Burada P(AMZN) ve P(DJIA), birbirinden bağımsız olarak Amazon ve Dow Jones’un düşme olasılıklarıdır.

Formül, Dow’da Amazon için bir hipotez verildiğinde, P(AMZN)’nin kanıtını görmeden önce hipotezin olasılığı ile P(AMZN|DJIA) kanıtını aldıktan sonra hipotezin olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklar.

Bayes Teoreminin Sayısal Örneği

Sayısal bir örnek olarak, %98 doğruluğa sahip bir uyuşturucu testi olduğunu hayal edin, yani uyuşturucu kullanan biri için zamanın %98’inde gerçek bir pozitif sonuç gösterir ve zamanın %98’inde gerçek bir negatif sonuç gösterir. ilacı kullanmayanlar için

Ardından, insanların% 0,5’inin ilacı kullandığını varsayalım. Rastgele seçilen bir kişi uyuşturucu için pozitif test yaparsa, kişinin gerçekten uyuşturucu kullanıcısı olma olasılığını belirlemek için aşağıdaki hesaplama yapılabilir.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = %19,76

Bayes Teoremi, bu senaryoda bir kişinin testi pozitif çıksa bile, kişinin ilacı almama ihtimalinin kabaca %80 olduğunu gösterir.

Alt çizgi

En basit haliyle, Bayes Teoremi bir test sonucu alır ve bunu diğer ilgili olaylar verildiğinde bu test sonucunun koşullu olasılığıyla ilişkilendirir. Yüksek olasılıklı yanlış pozitifler için Teorem, belirli bir sonuç için daha mantıklı bir olasılık verir.